Question

高三数学考试题.已知函数f x xlnx-1/2mx²-x

已知函数f x xlnx-1/2mx²-x
（1）M=-2时求所有零点
（2）有函数有两个极值点，X1,X2.且X1<X2，证明X1X2>e²

Answer 1

(1)当m=-2时，f（x）=xlnx+x2-x=x（lnx+x-1），x＞0．设F(x)=lnx+x-1
F'(x)=1/x +1>0 F(x)在定义域内单调递增F(1)=0
f(x)有唯一零点x=1
(2)欲证x1x2>e2
等价于证明lnx1x2>2即lnx1+lnx2>2
f'(x)=1+lnx-mx-1=lnx-mx lnx1=mx1 lnx2=mx2
m=(lnx1+lnx2)/(x1+x2)
lnx1-lnx2=m(x1-x2)
lnx1-lnx2=(lnx1+lnx2)(x1-x2)/x1+x2)
lnx1+lnx2=(lnx1/x2)(x1+x2)/(x1-x2)
令t=x1/x2 t<1
则lnx1+lnx2=lnt(1+t)/(t-1)>2
lnt-2(t-1)/(1+t)<0
设g(t)=lnt-2(t-1)/(1+t)=lnt-2(1-2/(t+1))=lnt+4/(t+1)-2
g'(t)=1/t-4/(t+1)2=(t-1)2/t(t+1)2>0 g(t)递增 g(1)=0 t<1
g(t)<0得证

Answer 2

第一小题，你列个方程：x·ln(x)-1/2·mx²-x=0，有两个解，一个是x=1，另一个是x=0。
第二小题，有哪个函数？

追问

该函数

追答

有两个极值点时，X1只能是0，X1X2是0，而e²是正数，X1X2<e²，所以不成立