高三数学考试题.已知函数f x xlnx-1/2mx²-x 60
已知函数fxxlnx-1/2mx²-x(1)M=-2时求所有零点(2)有函数有两个极值点,X1,X2.且X1<X2,证明X1X2>e²...
已知函数f x xlnx-1/2mx²-x
(1)M=-2时求所有零点
(2)有函数有两个极值点,X1,X2.且X1<X2,证明X1X2>e² 展开
(1)M=-2时求所有零点
(2)有函数有两个极值点,X1,X2.且X1<X2,证明X1X2>e² 展开
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(1)当m=-2时,f(x)=xlnx+x2-x=x(lnx+x-1),x>0.设F(x)=lnx+x-1
F'(x)=1/x +1>0 F(x)在定义域内单调递增F(1)=0
f(x)有唯一零点x=1
(2)欲证x1x2>e2
等价于证明lnx1x2>2即lnx1+lnx2>2
f'(x)=1+lnx-mx-1=lnx-mx lnx1=mx1 lnx2=mx2
m=(lnx1+lnx2)/(x1+x2)
lnx1-lnx2=m(x1-x2)
lnx1-lnx2=(lnx1+lnx2)(x1-x2)/x1+x2)
lnx1+lnx2=(lnx1/x2)(x1+x2)/(x1-x2)
令t=x1/x2 t<1
则lnx1+lnx2=lnt(1+t)/(t-1)>2
lnt-2(t-1)/(1+t)<0
设g(t)=lnt-2(t-1)/(1+t)=lnt-2(1-2/(t+1))=lnt+4/(t+1)-2
g'(t)=1/t-4/(t+1)2=(t-1)2/t(t+1)2>0 g(t)递增 g(1)=0 t<1
g(t)<0得证
F'(x)=1/x +1>0 F(x)在定义域内单调递增F(1)=0
f(x)有唯一零点x=1
(2)欲证x1x2>e2
等价于证明lnx1x2>2即lnx1+lnx2>2
f'(x)=1+lnx-mx-1=lnx-mx lnx1=mx1 lnx2=mx2
m=(lnx1+lnx2)/(x1+x2)
lnx1-lnx2=m(x1-x2)
lnx1-lnx2=(lnx1+lnx2)(x1-x2)/x1+x2)
lnx1+lnx2=(lnx1/x2)(x1+x2)/(x1-x2)
令t=x1/x2 t<1
则lnx1+lnx2=lnt(1+t)/(t-1)>2
lnt-2(t-1)/(1+t)<0
设g(t)=lnt-2(t-1)/(1+t)=lnt-2(1-2/(t+1))=lnt+4/(t+1)-2
g'(t)=1/t-4/(t+1)2=(t-1)2/t(t+1)2>0 g(t)递增 g(1)=0 t<1
g(t)<0得证
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