Question

已知函数f（x）=lnx-ax（x＞1）（1）试确定f（x）的单调区间（2）设函数g(x)＝xlnx(x＞1)，试证明：当a∈

已知函数f（x）=lnx-ax（x＞1）（1）试确定f（x）的单调区间（2）设函数g(x)＝xlnx(x＞1)，试证明：当a∈(1e，1)时（e为自然对数的底数）g（x）-f（x）＞2恒成立．

Answer 1

（1）∵f（x）=lnx-ax（x＞1）
∴f′（x）=

1

x

-a（x＞1）
当a≤0，恒有f′（x）＞0，（1，+∞）即为f（x）的单调递增区间；
当0＜a＜1时，当x＜

1

a

时，f′（x）＜0，x＞

1

a

时，f′（x）＞0，
（1，

1

a

）即为f（x）的单调递减区间；（

1

a

，+∞）即为f（x）的单调递增区间；
当a≥1时，f′（x）＜0恒成立，（1，+∞）即为f（x）的单调递减区间；
证明：（2）∵a∈(

1

e

，1)，由（1）得，f（x）在x=

1

a

时取最大值ln

1

a

-1＜lne-1=0，
令h（x）=g（x）-2（x＞1），则h′（x）=

lnx?1

ln2x

当x＞e时，h′（x）＞0
当x＜e时，h′（x）＜0
∴h（x）在（1，e）上单调递减，在（e，+∞）内单调递增，
∴h（x）在x=e处取得最小值
∴h（x）_min=

e

lne

?2=e-2＞0
∴a∈(

1

e

，1)时，g（x）-2＞f（x）恒成立
即g（x）-f（x）＞2