Question

已知等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1 ， 1 2 a 3 ，2a 2 成等差数列，则 a 3

已知等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1 ， 1 2 a 3 ，2a 2 成等差数列，则 a 3 + a 10 a 1 + a 8 =______．

Answer 1

∵a 1 ， 1 2 a 3 ，2a 2 成等差数列， ∴a 3 =a 1 +2a 2 ，又数列{a n }为等比数列， ∴a 1 q 2 =a 1 +2a 1 q， ∵等比数列{a n }中，各项都是正数， ∴a 1 ＞0，q＞0， ∴q 2 -2q-1=0， 解得：q= 2±2 2 2 =1± 2 ， ∴q=1+ 2 ，q=1- 2 （小于0舍去）， 则 a 3 + a 10 a 1 + a 8 = a 1 q 2 + a 1 q 9    a 1 + a 1 q 7 = q 2 + q 9   1 + q 7 = q 2 (1+ q 7 ) 1 + q 7 =q 2 =（1+ 2 ） 2 =3+2 2 ． 故答案为：3+2 2