Question

已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1 =1，a 3 =4．

Answer 1

（I）已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1 =1，a 3 =4，设公比为q，则由4=1×q 2 ，可得q=2．
故等比数列{a n }的通项公式为 a n =1×2 n-2 =2 n-1 ．
（II）由于 b n =
5
2 +lo g 2 a n =
5
2 +（n-1）=n+
3
2 ，数列{b n }为等差数列，且公差为1，故此数列的前n项和S n =
n[
5
2 +(n+
3
2 )]
2 =
1
2 n（n+4）．
（III）当n=1，或n=2时，经过检验，
1
2 n 3 +2（n∈N * ）与
1
2 n（n+4）相等，当n=3时，经过检验，
1
2 n 3 +2＞
1
2 n（n+4）．
故当n≥3时，
1
2 n 3 +2＞
1
2 n（n+4）．
这是因为当n比较大时，函数
1
2 n 3 +2 的增长速度大于S n =
1
2 n（n+4）的增长速度．