Question

已知{a n }是各项均为正数的等比数列，且 a 1 + a 2 =2( 1 a 1 + 1 a 2

已知{a n }是各项均为正数的等比数列，且 a 1 + a 2 =2( 1 a 1 + 1 a 2 )， a 3 + a 4 =32( 1 a 3 + 1 a 4 ) ．（Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）设b n =a n 2 +log 2 a n ，求数列{b n }的前n项和T n ．

Answer 1

（Ⅰ）设等比数列{a n }的公比为q，则a n =a 1 q n-1 ，由已知得： a 1 + a 1 q=2( 1 a 1 + 1 a 1 q )  a 1 q 2 + a 1 q 3  =32( 1 a 1 q 2 + 1 a 1 q 3 )  ， 化简得： a 1 2 q(q+1)=2(q+1) a 1 2 q 5  (q+1)=32(q+1) ，即 a 1 2 q=2 a 1 2 q 5 =32 ， 又a 1 ＞0，q＞0，解得： a 1 =1 q=2 ， ∴a n =2 n-1 ； （Ⅱ）由（Ⅰ）知b n =a n 2 +log 2 a n =4 n-1 +（n-1） ∴T n =（1+4+4 2 +…+4 n-1 ）+（1+2+3+…+n-1） = 4 n -1 4-1 + n(n-1) 2 = 4 n -1 3 + n(n-1) 2 ．