Question

在各项都为正数的等比数列{a n }中，已知a 3 =4，前三项的和为28．

Answer 1

（Ⅰ）设公比为q，则有a 3 =4，前三项的和为28，
知

a 1 q 2 =4

a 1 (1- q 3 )
1-q =28 ，
解得 a 1 =16，q=
1
2 ，或 a 1 =36，q=-
1
3 ．
∵等比数列{a n }各项都为正数，
∴ a 1 =36，q=-
1
3 不合题意，舍去．
∴ a 1 =16，q=
1
2 ，
a n =16× (
1
2 ) n-1 =32× (
1
2 ) n ．
（Ⅱ）∵ a n =32× (
1
2 ) n ，
∴b n =log 2 a n = log 2 [32×(
1
2 ) n ] =5-n．
S n =b 1 +b 2 +…+b n =4+3+2+…+（5-n）
=
n(9-n)
2 ．
∴
S n
n =
9-n
2 ，
∴
S 1
1 +
S 2
2 +…+
S n
n =
9-1
2 +
9-2
2 +…+
9-n
2
=
9n
2 -
n(n+1)
2
=-（
1
2 n 2 -4n ）
= -
1
2 (n-4 ) 2 +8 ．
∴n=4时，
S 1
1 +
S 2
2 +…+
S n
n 取最大值8．