Question

有这样一道习题：如图1，已知OA和OB是⊙O的半径，并且OA⊥OB，P是OA上任一点（不与O、A重合），BP的延长

有这样一道习题：如图1，已知OA和OB是⊙O的半径，并且OA⊥OB，P是OA上任一点（不与O、A重合），BP的延长线交⊙O于Q，过Q点作⊙O的切线交OA的延长线于R．说明：RP=RQ． 请探究下列变化： 变化一：交换题设与结论． 已知：如图1，OA和OB是⊙O的半径，并且OA⊥OB，P是OA上任一点（不与O、A重合），BP的延长线交⊙O于Q，R是OA的延长线上一点，且RP=RQ． 求证：RQ为⊙O的切线． 变化二：运动探究： （1）如图2，若OA向上平移，变化一中的结论还成立吗？（只需交待判断）（2）如图3，如果P在OA的延长线上时，BP交⊙O于Q，过点Q作⊙O的切线交OA的延长线于R，原题中的结论还成立吗？为什么？ （3）若OA所在的直线向上平移且与⊙O无公共点，请你根据原题中的条件完成图4，并判断结论是否还成立？（只需交待判断）





Answer 1

证明：连接OQ， ∵RQ为⊙O的切线， ∴∠OQR=∠OQB+∠PQR=90°， 又∵OB=OQ，OA⊥OB， ∴∠OQB=∠OBQ，∠OBQ+∠BPO=90°， ∴∠PQR=∠BPO， 而∠BPO=∠QPR， ∴∠PQR=∠QPR， ∴RP=RQ； 变化一： 证明： ∵RP=RQ， ∴∠PQR=∠QPR=∠BPO， 又∵OB=OQ，OA⊥OB， ∴∠OQB=∠OBQ，∠OBQ+∠BPO=90°， ∴∠OQB+∠PQR=90°， 即∠OQR=90°， ∴RQ为⊙O的切线； 变化二． （1）若OA向上平移，变化一中的结论还成立； （2）原题中的结论还成立． 理由：连接OQ， ∵RQ为⊙O的切线， ∴∠OQR=90°，∠BQO+∠RQP=90°， 又∵OB=OQ，OA⊥OB， ∴∠OQB=∠OBQ，∠OBQ+∠BPO=90°， ∴∠RQP=∠BPO， ∴RP=RQ； （3）原题中的结论还成立，如图．