Question

如图，已知平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF为矩形，四边形ABCD为直角梯形，∠DAB=90°，AB∥CD，AD=AF=4

如图，已知平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF为矩形，四边形ABCD为直角梯形，∠DAB=90°，AB∥CD，AD=AF=4，AB=2CD=8．（1）求证：AC⊥平面BCE；（2）求四棱锥C-ABEF的体积．

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD为直角梯形，∠DAB=90°，
∴AC=BC=

AD2+CD2

=4

2

．AB=8．∴AB²=AC²+BC²，即AC⊥BC，
又平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF为矩形，∴EB⊥平面ABCD，
AC?平面ABCD，∴AC⊥EB，EB∩BC=B，
∴AC⊥平面BCE；
（2）∵AD⊥AB，平面ABEF⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，平面ABEF∩平面ABCD=AB，
∴AD⊥平面ABEF，∵CD∥AB，∴AD为四棱锥C-ABEF的高，AD=4，
∴V_C-ABEF=

1

3

×4×8×4=

128

3

．