Question

求微分方程（y+x）dy+（x-y）dx=0的通解

求微分方程（y+x）dy+（x-y）dx=0的通解．

Answer 1

（x+y）dy=（y-x）dx，故

dy

dx

＝

y?x

y+x

＝

y x ?1

y x +1

．①
令u＝

y

x

，即y=ux，
则

dy

dx

＝u+x

du

dx

，于是方程①变为：
u+x

du

dx

＝

u?1

u+1

，
整理即得：x

du

dx

＝?

u2+1

u+1

．
分离变量得，

u+1

u2+1

du＝?

1

x

dx，
即有：

u

u2+1

du+

1

u2+1

du＝?

1

x

dx．
两边积分可得，

1

2

ln(u2+1)+arctanu＝?ln|x|+C．
将u＝

y

x

代入即得，

1

2

ln((

y

x

)2+1)+arctan

y

x

+ln|x|＝C，
整理即得，

1

2

ln(x2+y2)+arctan

y

x

＝C．