Question

如图，AB、CD交于E，且AC=BD，∠A+∠B=180°，求证：CE=DE

如图，AB、CD交于E，且AC=BD，∠A+∠B=180°，求证：CE=DE．

Answer 1

证明：在线段AE上取点F，使AC=CF，
∴∠A=∠CFA．
∵∠A+∠B=180°，∠CFA+∠CFE=180°，
∴∠CFE=∠DBE．
∵AC=CF，AC=BD，
∴CF=BD．
在△CFE和△DBE中，

∠CFE＝∠DBE ∠CEF＝∠DEB CF＝BD

，
∴△CFE≌△DBE（AAS），
∴CE=DE．

Answer 2

过D作AC的平行线交AB延长线与F
，则∠F
=
∠A
，
∵
∠A+∠B=180°，
∴
∠F
+∠DBE=180°
∵
,∠DBE+∠DBF=180°
∴
∠F
+∠DBE=180°
∵
∠DBF=∠DFB
∴
DF=DB
∵
DB=AC
∴DF=AC
∴
△ECA≌△EDB
∴
CE=ED

Answer 3

证法1:作DF平行AC,交BE于F,则∠DFE=∠A.
∠A+∠B=180度,则∠DFE+∠B=180度;又∠DFE+∠DFB=180度.
故∠DFB=∠B,DF=DB;而DB=AC,则AC=DF.
∴CE/DE=AC/DF=1,得CE=DE.(也可以利用⊿ACE≌⊿FDE证出CE=DE).
证法2:作CM平行BD,交BA的延长线于M,则∠M=∠B.
得:∠EAC+∠M=∠EAC+∠B=180度;又∠EAC+∠CAM=180度.
故∠M=∠CAM,得CM=AC=BD.与(证法1)同理可证得:CE=DE.
证法3:过点D作AB的平行线,交CA的延长线于N.
∠EAC+∠NAE=180度;∠EAC+∠B=180度.
则∠NAE=∠B,故梯形ABDN为等腰梯形,AN=BD.
又AC=BC,则AC=AN.
所以,CE/DE=AC/AN=1,得CE=DE.

Answer 4

证：过D作DF∥AC交AB延长线于F，则≌∠A=∠DFE(内错角相等。)
∵∠A+∠B=180°，∠B+∠DBF=180°
∴∠DBF，即△DBF是等腰三角形
∴DB=DF
又AC=BD，
∴AC=DF
在△ACE与△FDE中
≌∠A=∠DFE，∠AEC=∠DEF，AC=DF
∴△ACE≌△FDE
∴CE=DE