Question

在直角坐标系xOy中，设动点P到定点F（1，0）的距离与到定直线l：x=-1的距离相等，记P的轨迹为Γ．又过点

在直角坐标系xOy中，设动点P到定点F（1，0）的距离与到定直线l：x=-1的距离相等，记P的轨迹为Γ．又过点（1，0）并且斜率为2的直线AB与Γ交于A、B两点，求|AB|的长．

Answer 1

∵动点P到定点F（1，0）的距离与到定直线l：x=-1的距离相等，
∴由抛物线的定义，可得动点P的轨迹Γ是抛物线，
设其方程为y²=2px，由

p

2

=1得2p=4，
∴抛物线的方程为y²=4x，即为曲线Γ的方程．
过点（1，0）并且斜率为2的直线AB方程为y=2（x-1），即y=2x-2．
设直线l与曲线Γ的交点坐标为A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
y=2（x-1）代入y²=4x，整理得x²-3x+1=0，可得x₁+x₂=3．
∴根据抛物线的定义，可得|AB|=x₁+x₂+p=2+x₁+x₂=5．