Question

(2014•黑龙江牡丹江)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，CD⊥AB于点D．点P

(2014•黑龙江牡丹江)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，CD⊥AB于点D．点P从点D出发，沿线段DC向点C运动，点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止．设运动时间为t秒． （1）求线段CD的长； （2）设△CPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并确定在运动过程中是否存在某一时刻t，使得S△CPQ：S△ABC=9：100？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由． （3）当t为何值时，△CPQ为等腰三角形？
只求第三小题怎么做？

Answer 1

解：（1）如图1，
∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，
∴AB=10．
∵CD⊥AB，
∴S△ABC=12BC•AC=12AB•CD．
∴CD=BC•ACAB=6×810=4.8． ∴线段CD的长为4.8．
（2）①过点P作PH⊥AC，垂足为H，如图2所示．
由题可知DP=t，CQ=t．
则CP=4.8-t．
∵∠ACBBC=9：100．
∵S△ABC=12×6×8=24， 且S△CPQ：S△ABC=9：100，
∴（-25t2+4825t）：24=9：100． 整理得：5t2-24t+27=0．
即（5t-9）（t-3）=0．
解得：t=95或t=3． ∵0≤t≤4.8，
∴当t=95秒或t=3秒时，S△CPQ：S△ABC=9：100． （3）①若CQ=CP，如图1，
则t=4.8-t．
解B=∠CDB=90°，
∴∠HCP=90°-∠DCB=∠B．
∵PH⊥AC，
∴∠CHP=90°．
∴∠CHP=∠ACB．
∴△CHP∽△BCA．
∴PHAC＝PCAB．
∴PH8＝4.8-t10．
∴PH=9625-45t．
∴S△CPQ=12CQ•PH=12t（9625-45t）=-25t2+4825t． ②存在某一时刻t，使得S△CPQ：S△A2.4．
②若PQ=PC，如图2所示．
∵PQ=PC，PH⊥QC，
∴QH=CH=12QC=t2． ∵△CHP∽△BCA．
∴CHBC＝CPAB．
∴t26＝4.8-t10．
解得；t=14455． ③若QC=QP，
过点Q作QE⊥CP，垂足为E，如图3所示．
同理可得：t=2411．
综上所述：当t为2.4秒或14455秒或2411秒时，△CPQ为等腰三角形．