Question

在三角形ABC中，AB＞AC,E为BC边的中点，AD为∠BAC的平分线，过E做AD的平行线，交AB于F,，交CA的延长线于G,

在三角形ABC中，AB＞AC,E为BC边的中点，AD为∠BAC的平分线，过E做AD的平行线，交AB于F,，交CA的延长线于G,求证BF=CG.

Answer 1

证明:因为GE‖AD AD平分∠BAC
所以∠EGC=∠DAC=∠DAF=∠BFE=∠AFG
∴△GAF为等腰△ 且AG=AF
又，在△BAD中 EF‖AD 根据三角形相似比有DE:BE=AF:BF
同理在三角形CEG中 AD‖GE 所以有DE:CE=AG:GC
有BE=CE AG=AF 所以GC=BF 证毕。

Answer 2

因为 EF//AD
所以 CD/CE=AC/CG BD/BE=AB/BF
因为 E为BC边的中点
所以 CE=BE=BC/2
所以 CD/CE+BD/BE=CD/BE+BD/BE=BC/BE=2
所以 AC/CG+AB/BF=2
因为 AC=CG-AG,AB=BF+AF
所以 (CG-AG)/CG+(BF+AF)/BF=2
1-AG/CG+1+AF/BF=2
AG/CG=AF/BF
因为 AD为∠BAC的平分线
所以 ∠CAD=∠BAD
因为 AD//EF
所以 ∠CGF=∠CAD ∠GFA=∠BAD
所以 ∠CGF=∠GFA
所以 AF=AG
又因为 AG/CG=AF/BF
所以 CG=BF