Question

若函数f（x）对定义域中任意x均满足f（x）+f（2a-x）=2b，则称函数y=f（x）的图象关于点（a，b）对称．（

若函数f（x）对定义域中任意x均满足f（x）+f（2a-x）=2b，则称函数y=f（x）的图象关于点（a，b）对称．（1）已知函数 f(x)= x 2 +mx+m x 的图象关于点（0，1）对称，求实数m的值；（2）已知函数g（x）在R上的图象关于点（0，1）对称，且当x∈（0，+∞）时，g（x）=x 2 -2x，求函数g（x）在R上的解析式．

Answer 1

（1）∵函数 f(x)= x 2 +mx+m x 的图象关于点（0，1）对称， ∴f（x）+f（-x）=2， 即： x 2 +mx+m x + x 2 -mx+m -x =2， 解得m=1 （2）x＜0时，-x＞0，且g（x）+g（-x）=2， ∵当x∈（0，+∞）时，g（x）=x 2 -2x， 所以g（x）=2-g（-x）=-x 2 -2x+2 当x=0时，g（0）+g（-0）=2?g（0）=1； 因此g（x）= - x 2 -2x+2，x＜0 1，x=0 x 2 -2x，x＞0