Question

如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，PB与CD交于点F，∠PBC=∠C．（1）求证：CB∥PD；（2）

如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，PB与CD交于点F，∠PBC=∠C．（1）求证：CB∥PD；（2）若∠PBC=22.5°，⊙O的半径R=2，求劣弧AC的长度．

Answer 1

（1）证明见解析；（2） ．

试题分析：（1）先根据同弧所对的圆周角相等得出∠PBC=∠D，再由等量代换得出∠C=∠D，然后根据内错角相等两直线平行即可证明CB∥PD； （2）先由垂径定理及圆周角定理得出∠BOC=2∠PBC=45°，再根据邻补角定义求出∠AOC=135°，然后根据弧长的计算公式即可得出劣弧AC的长度． 试题解析：（1）∵∠PBC=∠D，∠PBC=∠C， ∴∠C=∠D， ∴CB∥PD； （2）∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E， ∴ ， ∵∠PBC=∠C=22.5°， ∴∠BOC=∠BOD=2∠C=45°， ∴∠AOC=180°-∠BOC=135°， ∴劣弧AC的长为： ． 【考点】1.垂径定理；2.圆周角定理；3.弧长的计算．