Question

已知等差数列{a n }的前n项和为S n ，且满足S 4 =16，S 6 =36，（1）求a n ；（2）设λ为实数，对任意正

已知等差数列{a n }的前n项和为S n ，且满足S 4 =16，S 6 =36，（1）求a n ；（2）设λ为实数，对任意正整数m，n，不等式S m +S n ＞λ?S m+n 恒成立，求实数λ的取值范围；（3）设函数 f(n)= a n ，n为奇数 f( n 2 )，n为偶数 c n =f（2 n+2 +4）（n∈N * ），求数列{c n }的前n项和T n ．

Answer 1

（1）设等差数列{a n }的公差为d， 由S 4 =16，S 6 =36， 得 4 a 1 + 4×3 2 d=16 6 a 1 + 6×5 2 d=36 ，…（2分） 解得 a 1 =1 d=2 ，…（4分） ∴a n =2n-1…（5分） （2）由a n =2n-1， 得S n =n 2 ， S m +S n ＞λ?S m+n ， 即m 2 +n 2 ＞λ（m+n） 2 对任意正整数m，n恒成立， ∴ λ＜ m 2 + n 2 (m+n) 2 对任意正整数m，n恒成立，…（7分） 而 m 2 + n 2 (m+n) 2 = m 2 + n 2 m 2 + n 2 +2mn ≥ m 2 + n 2 m 2 + n 2 + m 2 + n 2 = 1 2 （m=n时取等号）…（9分） ∴ λ＜ 1 2 …（10分） （3）由题意得： c n =f( 2 n+2 +4)=f( 2 n+1 +2)=f( 2 n +1)= a 2 n +1 =2?( 2 n +1)-1= 2 n+1 +1 …（13分） ∴T n =c 1 +c 2 +…+c n =（2 2 +2 3 +…+2 n+1 ）+n =2 n+2 -4+n．…（15分）