Question

直线0过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F，且交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若x1+x2=2，|AB|=4．

直线0过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F，且交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，若x1+x2=2，|AB|=4．（1）求抛物线的标准方程；（2）求抛物线上的点P到直线m：x-y+3=0的距离的最小值．

Answer 1

（1）由抛物线定义得，
|AB|=|AF|+|BF|=x₁+x₂+p=4，
又∵x₁+x₂=2，
∴p=2．
∴抛物线标准方程y²=4x．
（2）由题得，直线m与抛物线没有公共点，
设与直线m平行且与抛物线相切的直线n：x-y+t=0，
联立

x?y+t＝0 y2＝4x

，
消去x整理得，y²-4y+4t=0．
∴△=16-16t=0，
解得，t=1，
故切线n：x-y+1=0．
∴d_min=

|3?1|

2

=

2

，
即抛物线上的点P到直线m：x-y+3=0的最小距离为

2

．