Question

设A²=I，试证A的特征值只能是1或-1

Answer 1

证明: 设λ是A的特征值则 λ^2-1 是 A^2-E=0 的特征值 (定理)而零矩阵的特征值只能是0所以 λ^2-1=0所以 λ=1 或 -1。

定义 设A是n阶方阵，如果数λ和n维非零列向量x使关系式

AX=λX (1)

成立，那么这样的数λ称为矩阵A特征值，非零向量x称为A的对应于特征值λ的特征向量．（1）式也可写成，

( A-λE)X=0 (2)

这是n个未知数n个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是系数行列式

| A-λE|=0 , (3)

扩展资料

性质定理

1.可逆矩阵一定是方阵。

2.如果矩阵A是可逆的，其逆矩阵是唯一的。

3.A的逆矩阵的逆矩阵还是A。记作（A-1）-1=A。

4.可逆矩阵A的转置矩阵AT也可逆，并且（AT）-1=（A-1）T (转置的逆等于逆的转置）

5.若矩阵A可逆，则矩阵A满足消去律。即AB=O（或BA=O），则B=O，AB=AC（或BA=CA），则B=C。

6.两个可逆矩阵的乘积依然可逆。

7.矩阵可逆当且仅当它是满秩矩阵。

Answer 2

证明: 设λ是A的特征值则 λ^2-1 是 A^2-E=0 的特征值 (定理)而零矩阵的特征值只能是0所以 λ^2-1=0所以 λ=1 或 -1。
定义 设A是n阶方阵，如果数λ和n维非零列向量x使关系式
AX=λX (1)
成立，那么这样的数λ称为矩阵A特征值，非零向量x称为A的对应于特征值λ的特征向量．（1）式也可写成，
( A-λE)X=0 (2)
这是n个未知数n个方程的齐次线性方程组，它有非零解的充分必要条件是系数行列式
| A-λE|=0 , (3)

Answer 3

证明: 设λ是A的特征值
则 λ^2-1 是 A^2-E=0 的特征值 (定理)
而零矩阵的特征值只能是0
所以 λ^2-1=0
所以 λ=1 或 -1.