Question

一道数学奇偶性的题目

已知f(x)是一个定义在R上的函数,求证:(1)g(x)=f(x)+f(-X)是偶函数
(2)h(X)=f(x)-f(-X)是奇函数

Answer 1

（1）

g(x)=f(x)+f(-x)
则g(-x)=f(-x)+f(x)=g(x)
所以g（x）是偶函数

（2）

h(X)=f(x)-f(-X)
则h（-x）=f(-x)-f（x）=-[f(x)-f(-x)]=-h(x)
所以h（x）是奇函数
f(x)是一个定义在R上的函数，函数定义域关于原点对称
自己画图就可以比较清晰的看出：奇偶性

Answer 2

函数定义域关于原点对称
（1）

g(x)=f(x)+f(-x)
则g(-x)=f(-x)+f(x)=g(x)
所以g（x）是偶函数

（2）

h(X)=f(x)-f(-X)
则h（-x）=f(-x)-f（x）=-[f(x)-f(-x)]=-h(x)
所以h（x）是奇函数

Answer 3

将-x代入g(x)中，如下：
g(-x)=f(-x)+f(x) =>
g(-x)=f(x)+f(-x) =>
g(-x)=g(x) 得证g(x)是偶函数。

同理，将—x代入(x)中，如下：
h(-x)=f(-x)-f(x)
而 -h(x)=f(-x)-f(x) =>
h(-x)=-h(x) 得证h(x)是奇函数

Answer 4

g(-x)=f(-x)+f(x)=g(x) ,g(x)是偶函数
h(-X)=f(-x)-f(X)=-(f(x)-f(-X))=-h(X)
h(X)是奇函数

Answer 5

(1)
g(x) = f(x) + f(-x)

g(-x)
= f(-x) + f(x)
= g(x)
所以 g(x) = f(x) + f(-x)是偶函数

(2)
h(x) = f(x) - f(-x)
h(-x)
= f(-x) - f(x)
= -h(x)
所以h(x) = f(x) - f(-x)是奇函数