Question

求解一道高中数学几何题。

已知P,A,B,C是以O为球心的球面上的四个点，PA,PB,PC两两垂直，且PA=PB=PC=2，则球心O到平面ABC的距离为？

Answer 1

可以直接认为P,A,B,C是球的内接正立方体，且立方体边长为2

显然，P点到球心的距离为根号3

锥体PABC的体积为4/3，底面ABC的面积为根号3
则P点到平面ABC的距离为2/根号3

则球心O到平面ABC的距离为根号3/3

另一个方法
做PAO平面，你会发现这个截面上的关系更清楚
为一个长为2*根号2，宽为2的矩形，球心即矩形中心

Answer 2

解：三角形ABC为等边三角形，其边长为：2（根号2）；其垂心为：K。
PK = 根号{2^2 - [(2根号6)/3]^2} = 2(根号3)/3.
设：P、A、B、C 四点共球的球半径为：R。
则：根号{R^2 - [(2根号6)/3]^2} = R - 2(根号3)/3.
解此方程得： R = 根号3。
球心O到平面ABC的距离为：R - 2(根号3)/3. = (根号3)/3.

Answer 3

当然他个人提供

Answer 4

无解