Question

【线性代数（linear algebra）*线性相关的问题~~~~仙侠精灵进！】SINCERE THANKS

问题见图上
棕色部分！

Answer 1

记 A = (a1, a2, a3, a4)
A 是 3×4 矩阵， 其秩 r(A) ≤ 3
4 个向量组成的向量组 的秩最大为 3， 则该向量组线性相关。
事实上 A = (a1, a2, a3, a4) =
[1 4 9 1]
[2 5 7 5]
[3 6 2 2]
行初等变换为
[1 4 9 1]
[0 -3 -11 3]
[0 -6 -25 -1]
行初等变换为
[1 0 -17/3 5]
[0 1 11/3 -1]
[0 0 -3 -7]
行初等变换为
[1 0 0 164/9]
[0 1 0 -86/9]
[0 0 1 7/3]
则 a4 = (1/9)(164a1-86a2+21a3)
故 a1, a2, a3, a4 线性相关。

追问

我进行了愚钝的计算，自行演算了一番，根据您的“指示の线路”

哎~~~这数学，好不容易啊！！！！
谢谢您的帮助啊
感激！

Answer 2

因为向量组的秩等于向量组矩阵的秩

(α1,α2,α3,α4)是一个3*4的矩阵，其秩小于等于其行数，也就是秩小于等于3

线性相关等充要条件为向量组的秩小于向量个数

向量4个，秩为3，故线性相关。

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从几何角度：

n个m维向量

线性无关相当于在这n个向量不共一个n-1维空间的“体”

如2个3维向量如果线性无关，也就是这2个向量不共2-1维的“体”，1维“体”也就是线

换而言之，3维空间（因为是3维向量）中任意两个不共线的向量，线性无关

如3个3维向量如果线性无关，也就是这3个向量不共3-1维的“体”，2维“体”也就是面

换而言之，3维空间中任意3个不共面的向量，线性无关

考虑本题本题4个3维向量

如果线性无关，也就是要4个向量不共3维的“体”

考虑到这4个向量都是在3维空间中的，不可能找到4个向量不公3维“体”

追问

也极端感谢您！
您的大致意思，我有点看懂了！
大致就是：
一维线
二维面
三维图
4维不存在（针对本题而言！因为维数必然＜向量数4の缘故）

追答

。。。麻烦先学好中文，如果你是日本人，我也不知道怎么说了。。。。。。。。

强调：四维空间是有的，但在三维空间中找不出四维空间。

严格的说就是：子空间的维度小于等于空间的维度。

就本题而言，所给向量均为3维向量，也就是3维空间中的，

而4个向量线性无关的充要条件是他们不共3维空间

但实际上他们均取自同一三维空间，故他们线性相关。

如果这四个向量取自4维空间则不一定，举例：
(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(1,1,1,0)
线性相关，因为他们可以取自3维空间
{(x,y,z,0)lx,y,z属于R}

但(1,0,0,1),(0,1,0,1),(0,0,1,1),(1,1,1,1)
线性无关，因为他们不共三维体。（说明这点需要演算，我就略去）