Question

九点圆的性质

Answer 1

九点圆具有许多有趣的性质，例如：
1. 三角形的九点圆的半径是三角形的外接圆半径之半；
2. 九点圆的圆心在欧拉线上，且恰为垂心与外心连线的中点；
3. 三角形的九点圆与三角形的内切圆，三个旁切圆均相切（费尔巴哈定理）；
4. 九点圆是一个垂心组（即一个三角形三个顶点和它的垂心，共四个点，每个点都是其它三点组成的三角形的垂心，共4个三角形）共有的九点圆，所以九点圆共与四个内切圆、十二个旁切圆相切。
5. 九点圆心(V)，重心(G)，垂心(H)，外心(O)四点共线，且HG=2OG，OG=2VG，OH=2OV。
九点圆圆心的重心坐标的计算跟垂心、外心一样麻烦。
设d1，d2，d3分别是三角形三个顶点连向另外两个顶点向量的点乘，并令c1=d2d3，c2=d1d3，c3=d1d2；c=c1+c2+c3。
那么重心坐标为：( (2c1+c2+c3)/4c，(2c2+c1+c3)/4c，(2c3+c1+c2)/4c )。