Question

已知函数f(x)=lnx-ax2+ax恰好有两个零点,则函数a的取值范围为

已知函数f(x)=lnx-ax2+ax恰好有两个零点,则函数a的取值范围为

Answer 1

f(x)=lnx-ax²+ax 定义域x>0
f'(x)=1/x-2ax+a=(-2ax²+ax+1)/x
当分子Δ=a²+8a≤0→-8≤a≤0时，分子恒≥0 f(x)单调递增,最多一个零点
当a<-8
驻点x₁=[1-√(1+8/a)]/4 0<x₁<1/4
x₂=[1+√(1+8/a)]/4 1/4<x₂<1/2
f''(x)=-1/x²-2a
f'''(x)=2/x³>0
∴f''(x)单调递增
∴f''(x₂)>f''(¼)=-16-2a≥0
∴x₂是极小值点 x₁是极大值点
∵极小值点x₂<1
∴极小值<f(1)=0
∵x>lnx x>0
∴f(x)<x-ax²+ax=g(x)
g(x) ,抛物线开口向上，对称轴x=1/2+1/2a>1/4
∴x₂在对称轴的左侧，g(x)单调递减 g(x₂)<g(0)=0
∴极大值f(x₂)<g(x₂)<0 , f(x)只有一个零点。
a>0时
驻点x₁=[1+√(1+8/a)]/4 （[1-√(1+8/a)]/4 <0 不在定义域内）
f''(x)=-1/x²-2a
f''(x₁)=-16/[1+√(1+8/a)]²-2a<0
∴x₁为极大值点，且为最大值点
∴f(x₁)≥f(1)=0
∴只要x₁≠1即a≠1时 f(x₁)>0恒成立
∵x→0+及x→+∞是，f(x)均→-∞，由连续函数零点定理，f(x)必有两个零点
∴a的取值范围为a∈(0,1)∪(1,+∞)