Question

八年级数学几何

如图,在等腰Rt△ABC中,∠ACB=90°,D为BC的中点,DE⊥AB,垂足为E,过点B做BF‖AC交DE的延长线与点F，连接CF.
（1）求证：AD⊥CF；
（2）连接AF，试判断△ACF是否为等腰三角形，并说明理由.
这是图= =画得不好，请见谅

Answer 1

1）证明：等腰Rt△ABC中,∠ACB=90°,D为BC的中点，所以CD=DB,角CBA=45°。BF‖AC,故角CBF=90°。DE⊥AB，所以三角形BDE是等腰直角三角形，角BDE=45°。所以三角形DBF也是等腰直角三角形，BD=BF，所以BF=CD，又因为AC=BC,所以直角三角形ACD全等于直角三角形CBF，所以角BCF等于角CAD，因为角CAD+角CDA=90°，所以角BCF+角CDA=90°，所以角CGD=90°。于是可得AD⊥CF
2）由1）的证明直角三角形ACD全等于直角三角形CBF，得AD=CF.因为三角形BDE、三角形DBF都是等腰直角三角形，易得DE=EF，即直线AB是线段DF的中垂线，所以AD=AF。所以CF=AD=AF,即CF=AF，所以△ACF为等腰三角形。