Question

坐标系中某一个点（x1，y1)围绕某一点(Xr，Yr)旋转任意角度a后，得到一个新的坐标(x，y)

坐标系中某一个点（x1，y1)围绕某一点(Xr，Yr)旋转任意角度a后，得到一个新的坐标(x，y)求(x,y)的通用公式

Answer 1

【答案】逆时针旋转的公式为
x=Xr+(x1-Xr)cosa-(y1-Yr)sina
y=Yr+(x1-Xr)sina+(y1-Yr)cosa

(顺时针旋转，把a变成-a即可)
即为：
x=Xr+(x1-Xr)cosa+(y1-Yr)sina
y=Yr-(x1-Xr)sina+(y1-Yr)cosa

【解析】利用复数
设A(x1，y1)，P(Xr，Yr)，
旋转后的点为M(x，y)
向量PA=(x1-Xr)+i(y1-Yr)

向量PM=向量PA·(cosa+isina)
=[(x1-Xr)+i(y1-Yr)]·(cosa+isina)
=[(x1-Xr)cosa-(y1-Yr)sina]+i[(x1-Xr)sina
+(y1-Yr)cosa]

∵向量PM=(x-Xr)+i(y-Yr)

∴M的坐标为
x=Xr+(x1-Xr)cosa-(y1-Yr)sina
y=Yr+(x1-Xr)sina+(y1-Yr)cosa