已知函数f(x)=LOGa[((1/a)-2）x+1]在区间[1,2]上恒为正,求实数a的取值范围
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a>1时,问题转化为(1/a-2)x+1>1恒成立,即(1/a-2)x>0,而x>0恒成立,所以问题转化为1/a-2>0,即1/a>2,显然无解.
0<a<1时,问题转化为0<(1/a-2)x+1<1恒成立,即-1<(1/a-2)x<0,而x>0恒成立,所以1/a-2<0且1/a-2>-1/x(后式等价于1/a-2>-1/2),即-1/2<1/a-2<0,所以
3/2<1/a<2,所以1/2<a<2/3,
综上a的取值范围是(1/2,2/3)
0<a<1时,问题转化为0<(1/a-2)x+1<1恒成立,即-1<(1/a-2)x<0,而x>0恒成立,所以1/a-2<0且1/a-2>-1/x(后式等价于1/a-2>-1/2),即-1/2<1/a-2<0,所以
3/2<1/a<2,所以1/2<a<2/3,
综上a的取值范围是(1/2,2/3)
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