Question

数学求导问题 大神来帮忙

Answer 1

(一).求下列函数的一阶导数dy/dx：

1. x³+y³=64；     解： 3x²+3y²y'=0，故y'=dy/dx=-x²/y²;

2. x²-y²=25；      解：2x-2yy'=0,   ∴y'=x/y；

3. x³-xy+y²=7；  解：3x²-y-xy'+2yy'=0;  （2y-x)y'=y-3x²；∴y'=(y-3x²)/(2y-x);

4. coty=x²-3y；  解：-(csc²y)y'=2x-3y'；  (3-csc²y)y'=2x；∴y'=2x/(3-csc²y)；

5. y=sin(xy)；

   解：y'=[cos(xy)](y+xy');   [1-xcos(xy)]y'=ycos(xy)；∴y'=[ycos(xy)]/[1-xcos(xy)];

6. tan(y^4)=ln3x+e^(2y)

   解：设F（x，y)=tan(y^4)-ln3x-e^(2y)=0

   则dy/dx=-(∂F/∂x)/(∂F/∂y)=-(-1/x)/[4y³sec²(y^4)-2e^(2y)]=1/[4y³sec²(y^4)-2e^(2y)]x

7. tan(x+y)=x； 解：(1+y')sec²(x+y)=1；∴y'=[1-sec²(x+y)]/sec²(x+y)；

   或用公式作：设 F(x，y)=tan(x+y)-x=0；

   则dy/dx=-(∂F/∂x)/(∂F/∂y)=-[sec²(x+y)-1]/sec²(x+y)=(1-sec²(x+y)]/sec²(x+y);

8. sinx=x(1+tany)

   解：设F(x，y)=sinx-x(1+tany)=0;

   则dy/dx=-((∂F/∂x)/(∂F/∂y)=-(cosx-1-tany)/(-xsec²y)=(cosx-1-tany)/(xsec²y);

   (二).求下列函数的二阶导数

9. x²+y²=4；解：2x+2yy'=0，∴y'=-x/y；y''=(-y+xy')/y²=[-y-(x²/y)]/y²=-(y²+x²)/y³;

10. 1-xy=x-y；解：-y-xy'=1-y'；∴y'=(1+y)/(1-x)；

    ∴  y''=[(1-x)y'+(1+y)]/(1-x)²=2(1+y)/(1-x)²；

    (三). 求下列函数过已知点的导数

11. xcosy=1；(2，π/3)；

    解：∵2cos(π/3)=2×(1/2)=1；∴点(2，π/3)在曲线上；于是：

    由cosy-y'xsiny=0；得y'=(cosy)/xsiny∣(2,π/3)=[cos(π/3)]/2sin(π/3)=1/(2√3);

12. x³+y³-6xy=0;(4/3，8/3)

    解：∵(4/3)³+(8/3)³-6•(4/3)(8/3)=0，∴点(4/3，8/3)在曲线上；

    3x²+3y²y'-6y-6xy'=0;  

    ∴y'=(6y-3x²)/(3y²-6x)=(2y-x²)/(y²-2x)∣(4/3,8/3)=(16/3-16/9)/(64/9-8/3)=4/5;

追问

您可以在详细的写一下过程吗