Question

若a>0，b>0，且a+b=1，则（1/a^2－1)*(1/b^2－1)的最小值？

Answer 1

其实不用那么麻烦
简单的函数求值域
因为a+b=1
==>b=1-a
因为a>0
b>0
==>1-a>0
==>a<1
所以0<a<1
因为(1/a²-1)(1/b²-1)
=(1-a²)(1-b²)/a²b²
=(1-a²)[1-(1-a)²]/a²(1-a)²
=(1-a²)(2a-a²)/a²(1-a)²
=a(1-a)(1+a)(2-a)/a²(1-a)²
=(a+1)(a-2)/a(a-1)
=(a²-a-2)/(a²-a)
=1-/(a²-a)
而2/(a²-a)=2/[(a-1/2)²-1/4]
因为0<a<1
而1/2π∈(0,1)
所以a²-a≥-1/4
==>2/(a²-a) ≤-8
===>
1-2/(a²-a)≥1-(-8)=9
所以1+2/(a²-a)≥9
即当a=b=1/2时
原式取得最小值9

Answer 2

若a>0,b>0,a+b=1,则1/a>1,1/b>1
1=a+b≥2ab^(1/2)
ab^(1/2)≤1/2
ab≤1/4
1/ab≥4
当a=b=1/2取等号
(1/a^2-1)(1/b^2-1)=(1/a+1)(1/a-1)(1/b+1)(1/b-1)
=(1/a+1)(1/b+1)(1/a-1)(1/b-1)
=(1/ab+1/a+1/b+1)(1/ab-1/a-1/b+1)
=(1/ab+(a+b)/ab+1)(1/ab-(a+b)/ab+1)
=2/ab+1≥2*4+1=9
当a=b=1/2
(1/a^2-1)(1/b^2-1)的最小值是为9