Question

已知Sn为正项数列{an}的前n项和,且满足Sn=1/2a（n）^2+1/2a（n）

Answer 1

2Sn=a(n)²+a(n)
所以
2S(1)=a(1)²+a(1)
即
2a(1)=a(1)²+a(1)
因为a(1)=S(1)>0,
a(1)=1
2Sn=a(n)²+a(n)
2S(n-1)=a(n-1)²+a(n-1)
(n>1)
两式相减，
2an=a(n)²+a(n)-a(n-1)²-a(n-1)
a(n)+a(n-1)=a(n)²-a(n-1)²
a(n)+a(n-1)=[a(n)+a(n-1)][a(n)-a(n-1)]
所以
a(n)-a(n-1)=1
{an}是等差数列，公差，首项均为1
a(n)=1+(n-1)=n
所以a(1)=1,a(2)=2,a(3)=3

Answer 2

证：
n≥2时，
sn²-s(n-1)²=an³
sn²-(sn-an)²=an³
sn²-sn²+2ansn-an²=an³
2ansn=an³+an²
数列为正项数列，an>0
an≠0，等式两边同除以2an
sn=an²/2
+an/2
n≥2时，
an=sn-s(n-1)=an²/2
+an/2
-a(n-1)²/2
-a(n-1)/2
an²-a(n-1)²-an-a(n-1)=0
[an+a(n-1)][an-a(n-1)]-[an+a(n-1)]=0
[an+a(n-1)][an-a(n-1)-1]=0
数列为正项数列，an>0
a(n-1)>0
an+a(n-1)>0，要等式成立，只有
an-a(n-1)=1，为定值。又a1=1，数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列。
an=1+1×(n-1)=n
n=1时，a1=1，同样满足通项公式
数列{an}的通项公式为an=n