Question

lim(x->0)(cosx^2)^1/sinx^2

Answer 1

lim
x->0
(1-cosx)/x^2=lim
x->0
{1-1+2[sin(x/2)]^2}/x^2=lim
x->0
2[(sin(x/2)/(x/2)]^2*1/4=1/2
因为本来是除以x^2，现在除的是(x/2)^2，相当于扩大了4倍，所以要乘以1/4,1/4与原来的2相乘就得到了这个1/2
当然了，本题办法有很多种，在此用的是倍角公式，将1化掉后在利用重要极限。也可直接用等价无穷小代换。
或者是用罗比达法则也可以：lim
x->0
(1-cosx)/x^2=lim
x->0
sinx/(2x)=1/2

Answer 2

楼主先确认是lim(x->0)(cosx^2)^[1/sinx^2]还是lim(x->0)[(cosx)^2]^[1/(sinx)^2]?
如果是后者，
lim(x->0)[(cosx)^2]^[1/(sinx)^2]
=lim(x->0)1/{1+[-(sinx)^2)]}^[1/-(sinx)^2]
=1/e
如果是前者,相当于lim(t->0)(cost)^[1/sint]
=e^lim(t->0)ln{(cost)^[1/sint]}
=e^lim(t->0)(lncost)/sint
而lim(t->0)(lncost)/sint分子分母求导
=lim(t->0)-sint/(cost)^2=0
所以原式=e^0=1