Question

如图在正方形ABCD中，AB=12，点E是DC上的动点，（E不与点D、C重合），AE的垂直平分线FP分别交AD、AE、BC

如图在正方形ABCD中，AB=12，点E是DC上的动点，（E不与点D、C重合），AE的垂直平分线FP分别交AD、AE、BC于点F、H、G，交AB的延长线于点P。（1）设DE=x，FH/HG
=y,求y关于x的函数关系式，和定义域。（2）当FH/HG=1/2时，求BP的长

Answer 1

1）过点G作GQ⊥AD于Q，则QG=AB=AD=12，∠FQG=∠D=90°
∵∠QFG+∠DAE=∠AED+∠DAE=90°，
∴∠QFG=∠AED
∴△QFG≌△AED
∴FG=EA，FQ=DE=m
∵FP的垂直平分线AE
∴AH=1/2AE=1/2FG，∠FHA=∠FQG=90°
∵∠FHA=∠FQG=90°，∠AFH=∠GFQ
∴△FHA∽△FQG
∴FH/AH=FQ/QG
∴FH=AH×FQ/QG=1/2FG×m/12=m/24*FG
HG=FG-FH=FG-m/24*FG=（24-m）/24*FG
∴FH/HG=[m/24*FG]/[（24-m）/24*FG]=m/（24-m）
（2）当FH/HG=1/2时
m/（24-m）=1/2
∴m=8
∴FH=m/24*FG=1/3*√（8²+12²）=4/3√13
∵FH/AH=FQ/QG=m/12=2/3
∴AH=2√13
∴FA=√（FH²+AH²）=26/3
GB=QA=FA-FQ=26/3-m=2/3
∵△GBP∽△FQG
∴BP/GB=QG/FQ
BP=2/3×12/8=1

Answer 2

（1）、显然，H点离AD的距离为DE的一半(因为H是AE的中点)，为0.5x，故y=0.5x/(12-0.5x)=x/(24-x)，定义域为，（0，12）.
（2）、当FH/HG=1/2时，解出x=8，直角三角形AHF相似于直角三角形ADE，AF=1/2*根号下（8的平方+12的平方）*根号下（8的平方+12的平方）/12=26/3,故AP=26/3*12/8=13,故BP=1.