如图,在矩形ABCD中,已知AB=2,BC=3,点E为AD边上一动点(不与A、D重合),连接CE,作EF⊥CE交AB边于F。
(1)求证:△AEF∽△DCE;(2)当△ECF∽△AEF,求AF的长;(3)在点E的运动过程中,AD边上是否存在异于点E的点G,使△AGF∽△DCG成立?若存在,请猜想...
(1)求证:△AEF∽△DCE;
(2)当△ECF∽△AEF,求AF的长;
(3)在点E的运动过程中,AD边上是否存在异于点E的点G,使△AGF∽△DCG成立?若存在,请猜想点G的位置,并给出证;若不存在,请说明理由。
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(2)当△ECF∽△AEF,求AF的长;
(3)在点E的运动过程中,AD边上是否存在异于点E的点G,使△AGF∽△DCG成立?若存在,请猜想点G的位置,并给出证;若不存在,请说明理由。
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1.
∵EF⊥CE ∴∠CEF=90°
∵∠DCE+∠DEC=90° ∠AEF+∠DEC==90°
∴∠DCE =∠AEF △AEF∽△DCE (角 角 角) 证毕。
2.
∵△ECF∽△AEF∽△DCE
∴EF^2=AF*FC EC^2=DC*FC
FC^2=EF^2+ EC^2=AF*FC+DC*FC
FC=AF+DC FC^2=(AF+DC)^2
∵FC^2=(AB-AF)^2+BC^2 AD=BC=3 AB=DC=2
∴(AF+2)^2=(2-AF)^2+9
AF^2+4AF+4=4-4AF+AF^2+9
8AF=9
答:AF的长度为9/8。
3.
存在G点。
设:AF= a 且△AGF∽△DCG
∵AF:GD=AG:DC GD=(3-AG)
∴AG(3-AG)=AF*DC=2a
AG^2-3AG+2a=0
AG=[3±√(9-8a)]/2 0<a≤9/8
当0<a<9/8时 AG1大于1.5 小于3, AG2大于0小于1.5,
G点可以在AD中点两侧的任一侧。如果E点靠近A,那么G点可靠近D。证毕。
∵EF⊥CE ∴∠CEF=90°
∵∠DCE+∠DEC=90° ∠AEF+∠DEC==90°
∴∠DCE =∠AEF △AEF∽△DCE (角 角 角) 证毕。
2.
∵△ECF∽△AEF∽△DCE
∴EF^2=AF*FC EC^2=DC*FC
FC^2=EF^2+ EC^2=AF*FC+DC*FC
FC=AF+DC FC^2=(AF+DC)^2
∵FC^2=(AB-AF)^2+BC^2 AD=BC=3 AB=DC=2
∴(AF+2)^2=(2-AF)^2+9
AF^2+4AF+4=4-4AF+AF^2+9
8AF=9
答:AF的长度为9/8。
3.
存在G点。
设:AF= a 且△AGF∽△DCG
∵AF:GD=AG:DC GD=(3-AG)
∴AG(3-AG)=AF*DC=2a
AG^2-3AG+2a=0
AG=[3±√(9-8a)]/2 0<a≤9/8
当0<a<9/8时 AG1大于1.5 小于3, AG2大于0小于1.5,
G点可以在AD中点两侧的任一侧。如果E点靠近A,那么G点可靠近D。证毕。
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1)证明:∵四边形ABCD为矩形,
∴∠A=∠D=90°,
∴∠AEF+∠AFE=90°
又∵EF⊥CE,
∴∠AEF+∠CED=90°,
∴∠AFE=∠CED,
∴△AEF∽△DCE;
(2)∵△AEF∽△DCE,
∴AF:ED=EF:CE,
又∵△ECF∽△AEF,
∴EF:AF=CE:AE,即AF:AE=EF:CE,
∴AE=ED,
而AD=BC=3,
∴AE=ED=3/2,
又∵△AEF∽△DCE,AB=DC=2,
∴AF:DE=AE:DC,即AF3/2:=3/2:2,
∴AF=9/8;
(3)猜想:①当AE=DE,点G不存在;
②当AE≠DE,存在点G且AG=DE.证明如下:
如图,
∵△AEF∽△DCE,
∴AF:DE=AE:DC,
∵AG=DE,
∴DG=AE,
∴AF:AG=DG:DC,
而∠A=∠D=90°,
∴△AGF∽△DCG.
∴∠A=∠D=90°,
∴∠AEF+∠AFE=90°
又∵EF⊥CE,
∴∠AEF+∠CED=90°,
∴∠AFE=∠CED,
∴△AEF∽△DCE;
(2)∵△AEF∽△DCE,
∴AF:ED=EF:CE,
又∵△ECF∽△AEF,
∴EF:AF=CE:AE,即AF:AE=EF:CE,
∴AE=ED,
而AD=BC=3,
∴AE=ED=3/2,
又∵△AEF∽△DCE,AB=DC=2,
∴AF:DE=AE:DC,即AF3/2:=3/2:2,
∴AF=9/8;
(3)猜想:①当AE=DE,点G不存在;
②当AE≠DE,存在点G且AG=DE.证明如下:
如图,
∵△AEF∽△DCE,
∴AF:DE=AE:DC,
∵AG=DE,
∴DG=AE,
∴AF:AG=DG:DC,
而∠A=∠D=90°,
∴△AGF∽△DCG.
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分析:(1)由矩形的性质得∠A=∠D=90°,则∠AEF+∠AFE=90°,由EF⊥CE,则∠AFE=∠CED,得到∠AFE=∠CED,根据三角形相似的判定即可得到结论;
(2)由△AEF∽△DCE,根据相似的性质得到AF:ED=EF:CE,同理由△ECF∽△AEF得EF:AF=CE:AE,即AF:AE=EF:CE,则AE=ED=
32;再由△AEF∽△DCE,得AF:DE=AE:DC,代值即可求出AF;
(3)讨论:①当AE=DE,点G不存在;②当AE≠DE,存在点G且AG=DE,由△AEF∽△DCE,得AF:DE=AE:DC,当AG=DE,则DG=AE,得到AF:AG=DG:DC,根据三角形相似的判定易得到△AGF∽△DCG.解答:(1)证明:∵四边形ABCD为矩形,
∴∠A=∠D=90°,
∴∠AEF+∠AFE=90°
又∵EF⊥CE,
∴∠AEF+∠CED=90°,
∴∠AFE=∠CED,
∴△AEF∽△DCE;
(2)∵△AEF∽△DCE,
∴AF:ED=EF:CE,
又∵△ECF∽△AEF,
∴EF:AF=CE:AE,即AF:AE=EF:CE,
∴AE=ED,
而AD=BC=3,
∴AE=ED=32,
又∵△AEF∽△DCE,AB=DC=2,
∴AF:DE=AE:DC,即AF:32=32:2,
∴AF=98;
(3)猜想:①当AE=DE,点G不存在;
②当AE≠DE,存在点G且AG=DE.证明如下:
如图,
∵△AEF∽△DCE,
∴AF:DE=AE:DC,
∵AG=DE,
∴DG=AE,
∴AF:AG=DG:DC,
而∠A=∠D=90°,
∴△AGF∽△DCG.点评:本题考查了三角形相似的判定与性质:有两组对应角相等的三角形相似;有两组对应边的比相等,且它们的夹角相等的两个三角形相似;相似三角形对应边的比相等.也考查了矩形的性质.
(2)由△AEF∽△DCE,根据相似的性质得到AF:ED=EF:CE,同理由△ECF∽△AEF得EF:AF=CE:AE,即AF:AE=EF:CE,则AE=ED=
32;再由△AEF∽△DCE,得AF:DE=AE:DC,代值即可求出AF;
(3)讨论:①当AE=DE,点G不存在;②当AE≠DE,存在点G且AG=DE,由△AEF∽△DCE,得AF:DE=AE:DC,当AG=DE,则DG=AE,得到AF:AG=DG:DC,根据三角形相似的判定易得到△AGF∽△DCG.解答:(1)证明:∵四边形ABCD为矩形,
∴∠A=∠D=90°,
∴∠AEF+∠AFE=90°
又∵EF⊥CE,
∴∠AEF+∠CED=90°,
∴∠AFE=∠CED,
∴△AEF∽△DCE;
(2)∵△AEF∽△DCE,
∴AF:ED=EF:CE,
又∵△ECF∽△AEF,
∴EF:AF=CE:AE,即AF:AE=EF:CE,
∴AE=ED,
而AD=BC=3,
∴AE=ED=32,
又∵△AEF∽△DCE,AB=DC=2,
∴AF:DE=AE:DC,即AF:32=32:2,
∴AF=98;
(3)猜想:①当AE=DE,点G不存在;
②当AE≠DE,存在点G且AG=DE.证明如下:
如图,
∵△AEF∽△DCE,
∴AF:DE=AE:DC,
∵AG=DE,
∴DG=AE,
∴AF:AG=DG:DC,
而∠A=∠D=90°,
∴△AGF∽△DCG.点评:本题考查了三角形相似的判定与性质:有两组对应角相等的三角形相似;有两组对应边的比相等,且它们的夹角相等的两个三角形相似;相似三角形对应边的比相等.也考查了矩形的性质.
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1.
∵EF⊥CE ∴∠CEF=90°
∵∠DCE+∠DEC=90° ∠AEF+∠DEC==90°
∴∠DCE =∠AEF △AEF∽△DCE (角 角 角) 证毕。
2.
∵△ECF∽△AEF∽△DCE
∴EF^2=AF*FC EC^2=DC*FC
FC^2=EF^2+ EC^2=AF*FC+DC*FC
FC=AF+DC FC^2=(AF+DC)^2
∵FC^2=(AB-AF)^2+BC^2 AD=BC=3 AB=DC=2
∴(AF+2)^2=(2-AF)^2+9
AF^2+4AF+4=4-4AF+AF^2+9
8AF=9
答:AF的长度为9/8。
3.
存在G点。
设:AF= a 且△AGF∽△DCG
∵AF:GD=AG:DC GD=(3-AG)
∴AG(3-AG)=AF*DC=2a
AG^2-3AG+2a=0
AG=[3±√(9-8a)]/2 0<a≤9/8
当0<a<9/8时 AG1大于1.5 小于3, AG2大于0小于1.5,
G点可以在AD中点两侧的任一侧。如果E点靠近A,那么G点可靠近D。证毕。
∵EF⊥CE ∴∠CEF=90°
∵∠DCE+∠DEC=90° ∠AEF+∠DEC==90°
∴∠DCE =∠AEF △AEF∽△DCE (角 角 角) 证毕。
2.
∵△ECF∽△AEF∽△DCE
∴EF^2=AF*FC EC^2=DC*FC
FC^2=EF^2+ EC^2=AF*FC+DC*FC
FC=AF+DC FC^2=(AF+DC)^2
∵FC^2=(AB-AF)^2+BC^2 AD=BC=3 AB=DC=2
∴(AF+2)^2=(2-AF)^2+9
AF^2+4AF+4=4-4AF+AF^2+9
8AF=9
答:AF的长度为9/8。
3.
存在G点。
设:AF= a 且△AGF∽△DCG
∵AF:GD=AG:DC GD=(3-AG)
∴AG(3-AG)=AF*DC=2a
AG^2-3AG+2a=0
AG=[3±√(9-8a)]/2 0<a≤9/8
当0<a<9/8时 AG1大于1.5 小于3, AG2大于0小于1.5,
G点可以在AD中点两侧的任一侧。如果E点靠近A,那么G点可靠近D。证毕。
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