Question

n*(n+1)*(n+2)分之一的前9项和等于多少？

Answer 1

设ak＝k(k+1)(2k+1)＝2k3+3k2+k，
∴Sn＝
n

k＝1
k(k+1)(2k+1)=
n

k＝1
(2k3+3k2+k)，
将其每一项拆开再重新组合得：
Sn＝2
n

k＝1
k3+3
n

k＝1
k2+
n

k＝1
k
=2（13+23+…+n3）+3（12+22+…+n2）+（1+2+…+n）
=
n2(n+1)2
2
+
n(n+1)(2n+1)
2
+
n(n+1)
2

=
n(n+1)2(n+2)
2
．

设ak＝k(k+1)(2k+1)＝2k3+3k2+k，故Sn＝
n

k＝1
k(k+1)(2k+1)=
n

k＝1
(2k3+3k2+k)，将其每一项拆开再重新组合得：Sn＝2
n

k＝1
k3+3
n

k＝1
k2+
n

k＝1
k，由此能求出数列{n（n+1）（n+2）}的前n项和．

Answer 2

S9=1/(1×2×3)+1/(2×3×4)+1/(3×4×5)+……+1/(9×10×11)
=1/2×(1/1×2-1/2×3+1/2×3-1/3×4+……+1/9×10-1/10×11)
=1/2×(1/2-1/110)
=1/2×54/110
=27/110