Question

高数数列极限问题

对于数列{Xn},若X2k-1趋近于a(k趋近于无穷),X2k趋近于a(k趋近于无穷),证明：Xn趋近于a(n趋近于无穷)

Answer 1

证明:

对∨ε＞0,
∵lim(x→∞) x(2k-l)=a
∴存在自然数N1，当k>N1时
|x(2k-l)-a|<ε

∵lim(x→∞) x(2k-l)=a
∴存在自然数N2，当k>N2时
|x(2k)-a|<ε

取N3=max{N1,N2}，
当k>N3
即2k+1>2N3+1，2k>2N3时，
|x(2k-l)-a|<ε和|x(2k)-a|<ε同时成立

∴取N=2N3+1，则当n>N时,
|x(2k-l)-a|<ε和|x(2k)-a|<ε同时成立
即|x(n)-a|<ε

由极限定义知，lim(x→∞) x(n)=a

证毕