Question

向量三点共线定理等于1吗?

Answer 1

向量三点共线定理等于1。证明过程如下：

设A、B、C三点共线，O是平面内任一点。

因为A、B、C共线，所以存在非零实数k，使AB=kAC。

即 OB-OA=k(OC-OA)。

所以 OB=kOC+(1-k)OA。

[注：两个系数和 k+1-k=1]。

反之，若存在实数x，y 满足 x+y=1，且OA=xOB+yOC。

则 OA=xOB+(1-x)OC。

OA-OC=x(OB-OC)。

所以 CA=xCB。

因此，向量CA与CB共线。

又由于 CA、CB有公共点C。

所以，A、B、C三点共线。

三点共线的证明方法：

方法一：取两点确立一条直线，计算该直线的解析式 .代入第三点坐标 看是否满足该解析式 （直线与方程）。

方法二：设三点为A、B、C .利用向量证明：λAB=AC（其中λ为非零实数）。

方法三：利用点差法求出AB斜率和AC斜率，相等即三点共线。

方法四：用梅涅劳斯定理。