Question

如何理解定义域、值域?学高中函数的

Answer 1

f(x)是函数的符号,它代表函数图象上每一个点的纵坐标的数值,因此函数图像上所有点的纵坐标构成一个集合,这个集合就是函数的值域.x是自变量,它代表着函数图象上每一点的横坐标,所有横坐标的数值 构成的集合就是函数的定义域.f是对应法则的代表,它可以由f(x)的解析式决定.例如：f(x)=x2+1,f代表的是把自变量x先平方再加1.x2+1的取值范围（x2+1≥1）就是f(x)=x2+1的值域.如果说你弄清了上述问题,仅仅是对函数f(x)有了一个初步的认识,我们还需要对f(x)有更深刻的了解.我们可以从以下几个方面来认识f(x).
第一：对代数式的认识.每一个代数式它的本质就是一个函数.象x2-1这个代数式,它就是一个函数,其自变量是x,对x的每一个值x2-1都有唯一的值与之对应,所以x2-1的所有值的集合就是这个函数的值域.
第二：对抽象数的认识,对于一个没有具体解析式的抽象函数,由于我们不知道它的具体对应法则也难以知道它的自变、定义域、值域,很难理解它的符号及其意义.
例如：f(x+1)的自变量是什么呢?它的对应法则还是f吗?f(x+1)的自变量是x,它的对应法则不是f.
我们不妨作如下假设,如果f(x)=x2+1,那么f(x+1)=(x+1)2+1,f(x+1)与（x+1)2+1这个代数式相等,即：（x+1)2+1的自变量就是f(x+1)的自变量.(x+1)2+1的对应法则是先把自变量加1再平方,然后再加上1.
再如,f(x)与f(t)是同一个函数吗?
只须列举一个特殊函数说明.
显然,f(x)与f(t)它们的对应法则是相同的,如果x的取值范围与 t的取值范围是相同的,则f(x)与f(t)就是相同的函数,否则,它们就是对应法则相同而定义域不同的函数了.
例:设 f(x+ )=x2+ ,求f(x)
设x+ =t=>t2—2=x2+
所以f(t)=t2—2,f(x)=x2—2
而f(x)与f(t)必须x与t的取值范围相同,才是相同的函数,由t=x+ 可知t≥2或t≤—2
所以f(x)=x2—2,（x≥2或x≤2）
第三：对函数f(x)定义域的认识
如果一个函数是具体的,它的定义域我们不难理解.但如果一个函数是抽象的,它的定义域就难以捉摸.
例如：y=f(x) 1≤x≤2与y=f(x+1)的定义域相同吗?值域相同吗?如果已知f(x)的定义域是x∈ [1,2],f(x+1)的定义域是什么?
因为f(x)的定义域是 x ∈ [1,2],即是说对1≤x≤2中的每一个数值f(x)都有函数值,超出这个范围内的任何一个数值f(x)都没有函数值.例如3就没有函数值,即f(3)就无意义.因此,当x+1的取值超出了[1,2]这个范围,f(x+1)也就没有了函数值,所以f(x+1)的定义域是1≤x+1≤2这个不等式的解集,也就是说f(x+1)中x+1的值域是f(x)的定义域,又由于1≤x+1≤2故f(x+1)的值域与f(x)(1≤x≤2)的值域也就自然相同了.
以上是本人对函数的一点肤浅认识 ,仅供参考.------
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