Question

已知函数f(x)=x^3-ax-1

1若f(x)在R上单调递增求a的取值范围
2是否存在实数a使f(x)在（-1,1）上单调递减，若存在求出a的取值范围，若不存在说明理由。

Answer 1

f'(x)=3x²-a
若f(x)在R上单调递增
则3x²-a>0
a<3x²
所以a<0

设存在实数a使f(x)在（-1,1）上单调递减
则f'(-1)<=0 ,f'(1)<=0
解得a>=3
所以存在a>=3使f(x)在（-1,1）上单调递减

Answer 2

1、
在R上单调递增
则f'(x)=3x²-a恒大于0
3x²>=0
3x²-a>=-a
所以-a>0
a<0

2、
f'(x)=3x²-a
即当-1<x<1时f'(x)<0恒成立
则0<=x²<1
-a<=3x²-a<3-a
则只要3-a<=0
a>=3

Answer 3

（1）f′（x）=3x2-a，3x2-a＞0在R上恒成立，∴a＜0．
又a=0时，f（x）=x3-1在R上单调递增，∴a≤0．
（2）3x2-a＜0在（-1，1）上恒成立，即a＞3x2在（-1，1）上恒成立，即a＞3．
又a=3，f（x）=x3-3x-1，f′（x）=3（x2-1）在（-1，1）上，
f′（x）＜0恒成立，即f（x）在（-1，1）上单调递减，∴a≥3．