Question

已知数列{an}的前n项和为Sn,对一切正整数，点（n，Sn）都在函数f(x)=2^(x+2)-4的图像上，

已知数列{an}的前n项和为Sn,对一切正整数，点（n，Sn）都在函数f(x)=2^(x+2)-4的图像上，1 求其通项公式 2 设bn=an×log2an 求bn的前n项和Tn.

Answer 1

解：
1、
根据题意，得
Sn=2^(n+2)-4=4(2^n-1)
a1=S1=4(2^1-1)=4
an=Sn-Sn-1=4(2^n-1)-4[2^(n-1)]=4[2^n-2^(n-1)]=2(2*2^n-2^n)=2^(n+1)
n=1时，同样成立。
{an}的通项公式为an=2^(n+1)
2.
bn=anlog2(an)
=2^(n+1)log2[2^(n+1)]
=(n+1)2^(n+1)
Tn=b1+b2+...+bn=2*2^2+3*2^3+...+n2^n+(n+1)2^(n+1)
Tn/2=2*2+3*2^2+4*2^3+...+(n+1)2^n
Tn/2-Tn=2*2+2^2+2^3+...+2^n-(n+1)2^(n+1)
=2+2+2^2+2^3+...+2^n-(n+1)2^(n+1)
=2+2(2^n-1)/(2-1)-(n+1)2^(n+1)
=2+2^(n+1)-2-n2^(n+1)-2^(n+1)
=-n2^(n+1)
Tn/2=n2^(n+1)

Tn=n*2^(n+2)

Answer 2

（n,sn)在函数f(x)=2^(x+2)-4的图像上
sn=2^(n+2)-4
s(n-1)=2^(n-1+2)-4=2^(n+1)-4

所以a1=s1=2^(1+2)-4=4

an=sn-s（n-1）【a≥2】
=2^(n+2)-4-[2^(n+1)-4]
=2^(n+2)-2^(n+1)
=2^(n+1)

bn=an×log2an
=2^(n+1)×log2 2^(n+1)
=2^(2n+2)
=(2^2)^(n+1)
=4^(n+1)

b1=4^(1+1)=16

Tn=b1[1-q^(n+1)]/(1-q)
=16*[1-4^(n+1)]/(1-4)
=[16-4^(n+3)]/(-3)
=4^(n+3)/3-16/3

Answer 3

1.
Sn=2^(n+2)-4
S(n-1)=2^(n+1)-4
an=Sn-S(n-1)=2^(n+1)

2.
bn=2^(n+1)*(n+1)利用错位相减
=（1-n）*2^(n+2)-4+2^(n+2)-2
=(2-n)^2^(n+2)-6