Question

在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是线段A1C1的中点,AC∩BD=F

（1）求证 CE垂直BD
（2）求证 CE//平面A1BD
（3）求二棱锥D-A1BC的表面积

Answer 1

（1）证：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1⊥面ABCD ，则AA1⊥BD；
因为在正方形ABCD中，AC⊥BD；
所以，BD⊥面ACC1A1。
因为CE在面ACC1A1内，则BD⊥CE。
（2）证: 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，BD‖B1D1,A1D‖B1C,则面A1BD
‖面B1CD1；
因为CE在面B1CD1内，所以CE‖面A1BD。
（3）解：在△DA1B中，DB=DA1=A1B=（根号2）*a ，所以，S△DA1B=
(（根号3）/2 )a² ；
在△DA1C中，DC⊥A1C，DC=a,A1C=(根号3）*a,所以，S△DA1C
=(（根号3）/2 )a² ；
在△DBC中，S△DBC= a²/2 ；
在△A1BC中，BC⊥A1B，A1B=（根号2）*a,所以，S△A1BC=
（根号2/2)*a²；
二棱锥D-A1BC的表面积=S△DA1B+S△DA1C+S△DBC+S△ A1BC
=(（根号3）/2 )a² +(（根号3）/2 )a²
+a²/2+ （根号2/2)*a²
=(根号3）a² +a²/2+ （根号2/2)*a²