在棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是线段A1C1的中点,AC∩BD=F
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(1)证:在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1⊥面ABCD ,则AA1⊥BD;
因为在正方形ABCD中,AC⊥BD;
所以,BD⊥面ACC1A1。
因为CE在面ACC1A1内,则BD⊥CE。
(2)证: 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,BD‖B1D1,A1D‖B1C,则面A1BD
‖面B1CD1;
因为CE在面B1CD1内,所以CE‖面A1BD。
(3)解:在△DA1B中,DB=DA1=A1B=(根号2)*a ,所以,S△DA1B=
((根号3)/2 )a² ;
在△DA1C中,DC⊥A1C,DC=a,A1C=(根号3)*a,所以,S△DA1C
=((根号3)/2 )a² ;
在△DBC中,S△DBC= a²/2 ;
在△A1BC中,BC⊥A1B,A1B=(根号2)*a,所以,S△A1BC=
(根号2/2)*a²;
二棱锥D-A1BC的表面积=S△DA1B+S△DA1C+S△DBC+S△ A1BC
=((根号3)/2 )a² +((根号3)/2 )a²
+a²/2+ (根号2/2)*a²
=(根号3)a² +a²/2+ (根号2/2)*a²
因为在正方形ABCD中,AC⊥BD;
所以,BD⊥面ACC1A1。
因为CE在面ACC1A1内,则BD⊥CE。
(2)证: 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,BD‖B1D1,A1D‖B1C,则面A1BD
‖面B1CD1;
因为CE在面B1CD1内,所以CE‖面A1BD。
(3)解:在△DA1B中,DB=DA1=A1B=(根号2)*a ,所以,S△DA1B=
((根号3)/2 )a² ;
在△DA1C中,DC⊥A1C,DC=a,A1C=(根号3)*a,所以,S△DA1C
=((根号3)/2 )a² ;
在△DBC中,S△DBC= a²/2 ;
在△A1BC中,BC⊥A1B,A1B=(根号2)*a,所以,S△A1BC=
(根号2/2)*a²;
二棱锥D-A1BC的表面积=S△DA1B+S△DA1C+S△DBC+S△ A1BC
=((根号3)/2 )a² +((根号3)/2 )a²
+a²/2+ (根号2/2)*a²
=(根号3)a² +a²/2+ (根号2/2)*a²
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