Question

若函数f(x)=x/x-1-kx^2(x小于等于0) lnx(x>0）有且仅有两个不同的零点,则实数K的取值范围是

Answer 1

函数f(x)={x/(x-1)-kx^2(x小于等于0) 

             { lnx(x>0）

当x>0时，f(x)=lnx有1个零点，1

那么需x≤0时，f(x)=x/(x-1)-kx^2有唯一零点，

即x/(x-1)=kx^2有唯一非正解数解，

也就是y=x/(x-1)=1+1/(x-1)图像与y=kx^2图像

在y轴左侧有唯一交点，因为原点是交点，

需不能有其它交点，

y=1+1/(x-1)(x<0)是反比例函数

y=1/x向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到的，

当k≤0时，有唯一交点(0,0)符合题意，

当k>0时，

曲线在x=0处的切线斜率k=1

而y=kx^2在x=0处导数为0

故y=x/(x-1)=1+1/(x-1)图像与y=kx^2图像，

在第二象限还有另一个交点，不合题意，

因此k≤0