Question

样本均值为什么和样本方差独立？08年真题概率的最后一题。

大家看看08年那最后一题，他什么都没给，答案就说 样本均值和方差独立，我开始还在证，后来看了答案直接说因为样本均值和方差独立，我晕倒，好像是默认的是吧，大家有知道说下哈

Answer 1

样本均值和样本方差在总体服从正态分布时相互独立。

独立性的这个推论，叙述起来比较复杂，这里简单说一下。不完整，就是两个随机变量独立，以它们为自变量的连续的因变量之间也独立。

若总体不服从正态分布，则样本均值和样本方差不一定独立。也就不能推出后面的结论。

样本均值的平方与样本方差的独立性的关系（注意不是样本均值），样本均值的平方与样本方差当然独立（因为总体服从正态分布）。

根据上面的结论、独立性的一个推论可以推出很多这样的命题，比如样本均值和样本标准差独立等等。

扩展资料

样本是受审查客体的反映形象或其自身的一部分。按一定方式从总体中抽取的若干个体，用于提供总体的信息及由此对总体作统计推断。又称子样。

例如因为人力和物力所限，不能每年对全国的人口进行普查，但可以通过抽样调查的方式来得到需要的信息。从总体中抽取样本的过程叫抽样。

最常用的抽样方式是简单随机抽样，按这种方式抽样，总体中每个个体都有同等的机会被抽入样本，这样得到的样本称简单随机样本。

样本的平均值称样本均值，样本偏离样本均值的平方的平均值称为样本方差，在数理统计中，常常用样本均值来估计总体均值，用样本方差来估计总体方差。

参考资料

万方数据库-样本均值与样本方差相互独立的充要条件

Answer 2

概率论书上给出的是样本均值和样本方差在总体服从正态分布时相互独立，关于这个命题浙大四版的概率论书上有证明，这里不详细展开，你也可以参考一篇论文http://www.docin.com/p-392650347.html。但是个人觉得对于考研来说，没有必要掌握，绝对不可能考，我们只需要记住结论即可（就像可积的充要条件我们没必要掌握一样）。

这里说明另外两个问题，第一个即本题所说的问题。本题第二问的核心是样本均值的平方与样本方差的独立性的关系（注意不是样本均值），就本题所给条件而言，样本均值的平方与样本方差当然独立（因为总体服从正态分布），根据上面所给的结论和独立性的一个推论可以得出。另外根据上面的结论、独立性的一个推论可以推出很多这样的命题，比如样本均值和样本标准差独立等等。
独立性的这个推论，叙述起来比较复杂，这里简单说一下（不完整），就是两个随机变量独立，以它们为自变量的连续的因变量之间也独立。

第二个问题是若总体不服从正态分布，则样本均值和样本方差不一定独立。也就不能推出后面的结论，原因也可以参考上面的论文。

Answer 3

这个证明不需要掌握，记住结论既可。

Answer 4

全书上有原话，就是这2个独立，证明我也不会，等高手