Question

关于线性代数问题。m个n维行向量,当n小于m时,是否线性相关，我想问的是行向量。。。

m个n维列向量,当n小于m时,一定线性相关，我是通过把它看成矩阵来理解的，m个n维列向量就是n*m阶矩阵，n可以理解是方程的个数，m理解是未知数，方程的个数小于未知数的个数，方程肯定有非零解，自然也就线性相关了,但是，如果换成行向量后就不一样。我想知道这是为什么？怎么理解？谢谢！

Answer 1

不管是行向量还是列向量，当向量组中向量的维数小于向量的个数时，向量组一定线性相关。所以，
m个n维行向量,当n小于m时,是否线性相关？ 一定线性相关！
因为这m个行向量构成一个m×n矩阵，它的秩≤n＜m，向量组的秩小于向量的个数，所以向量组线性相关。如果要考虑齐次线性方程组，形式是xA=0，如果不习惯，可以转置后变成A'x=0，方程个数小于未知量个数，方程组有非零解。

追问

为什么齐次线性方程组，形式是xA=0？顺便问下，向量组线性相关的条件是它的秩＜向量个数这个是定理，如何证明呢？

追答

行向量组组成矩阵A时，这些向量当然是矩阵的行向量了，x1a1+x2a2+...+xkak不就是(x1,x2,...,xk)A。

还要证明吗？一直在使用的结论。列向量组的线性相关性归结为Ax=0的解的情形，向量组的秩＝A的秩＜A的列数＝向量的个数，这不就是方程组有非零解的判定吗