Question

高一数学【函数问题】

已知函数f(x)=ax^2+bx+1（a、b为实数），设F(x)=
┌ f(x)，x＞0
└ -f(x)，x＜0
若f(-1)=0，且对任意实数x均有f(x)≥0成立，求F(x)的表达式。
在前面的条件下，当x∈[-2,2]时g(x)=f(x)-kx是单调函数，求实数k的取值范围。

Answer 1

因为f(-1)=0，且对任意实数x均有f(x)≥0成立
所以f(x)在x=-1处取得最小值，
则抛物线开口向上且对称轴为x=-1
即a>0且x=-b/2a =-1 解得：b=2a>0 ①
又f(-1)=a-b+1=0 ②
由①②解得：a=1,b=2
所以f(x)=x²+2x+1=（x+1)²

当x>0时，F(x)=f(x)=（x+1)²
当x<0时，F(x)=-f(x)=-（x+1)²
综上：F(x)的表达式为：
┌ （x+1)²,x＞0
F（x)=
└ -（x+1)²,x＜0