Question

已知函数f(x)的定义域是（0，正无穷），且满足f(xy)=f(x)+f(y),f(1/2)=1,如果对于0＜x＜y，都有f(x)＞f(y)

1.求f(1)
2.解不等式f(-x)+f(3-x)≥-2

Answer 1

1.
令 x=y=1
代入 f(xy)=f(x)+f(y)
所以 f（1）=f（1）+f（1）
所以 f（1）=0
2.
如果对于0＜x＜y，都有f(x)＞f(y)
所以 f（x）是减函数

根据定义域
-x>0
3-x>0
f(-x)+f(3-x)=f（x*(x-3)）

令 x=2 y=1/2
代入 f(xy)=f(x)+f(y)
得 f(1)=f(2)+f(1/2)=0
所以 f(2)=-1

再令 x=y=2
代入 f(xy)=f(x)+f(y)
得 f(4)=f(2)+f(2)=-2

所以
不等式f(-x)+f(3-x)≥-2
就是
f（x*(x-3)）≥f(4)
再根据
f（x）是减函数
所以 x*(x-3)≤4

解得 -1≤x<0

Answer 2

f（1）=0 -1≤x<0