Question

导数的问题..

函数f(x)在[0，+∞)上可导,f(0)=0，f'(x)单调递减,证明:对任意0<=a<=b,有f(a+b)<=f(a)+f(b)..拜托拜托..

Answer 1

证明:任取0<=a<=b,f在[0,a+b]可导
所以,存在c∈(0,a),使得f'(c)=(f(a)-f(0))/(a-0),即f'(c)=f(a)/a
存在d∈(b,a+b),使得f'(d)=(f(a+b)-f(b))/(a+b-b),即f'(d)=(f(a+b)-f(b))/a.
因为f'(x)单减,c<=d,所以f'(c)>=f'(d)
所以f(a)>=f(a+b)-f(b)
f(a+b)<=f(a)+f(b).

具体的边界情况还需自己补充.