Question

lim(X→0)(x-sinx)/(x-tanx)求极限?

x-sinx为什么＝1-cosx
x-tanx为什么＝1－(secx)^2
这两个怎么简化过来的？

Answer 1

limx→0 (x-sinx)/(x-tanx)，(0/0型，洛必塔法则求导)
=limx→0 (1-cosx)/(1-sec^2x)，
=limx→0 2sin^2(x/2)/(-tan^2x)，(sinx/2~x/2，tanx~x，替换)
=limx→0 2*(x/2)^2/(-x^2)，
=-1/2。

追问

x-sinx为什么＝1-cosx
x-tanx为什么＝1－(secx)^2
这两个怎么简化过来的？

追答

上面不是说过了吗，0/0型，用洛必塔法则对分子分母分别求导，即：
limx→0 f(x)/g(x)=limx→0 f‘(x)/g’(x)，
分子的导数为(x-sinx)'=1-cosx，
分母的导数为(x-tanx)'=1-sec^2x。

Answer 2

连续使用L'Hospital Rule

lim x→0 (x－sinx)/(x－tanx)
＝lim x→0 (1－cosx)/(1－(secx)^2)
＝lim x→0 (sinx)/(-2secx·secx·tanx)
＝lim x→0 -(cosx)^3/2
＝-1/2

追问

x-sinx为什么＝1-cosx
x-tanx为什么＝1－(secx)^2
这两个怎么简化过来的？

Answer 3