Question

已知二次函数f（x）=x 2 -16x+q+3．（1）若函数在区间[-1，1]上存在零点，求实数q的取值范围；（2）若记

已知二次函数f（x）=x 2 -16x+q+3．（1）若函数在区间[-1，1]上存在零点，求实数q的取值范围；（2）若记区间[a，b]的长度为b-a．问：是否存在常数t（t≥0），当x∈[t，10]时，f（x）的值域为区间D，且D的长度为12-t？请对你所得的结论给出证明．

Answer 1

（1）∵函数f（x）=x 2 -16x+q+3在区间[-1，1]上单调递减， ∴函数在区间[-1，1]上存在零点可得， f(-1)≥0 f(1)≤0 即 20+q≥0 -12+q≤0 ∴-20≤q≤12 （2）证明：假设存在常数t（t≥0）满足题意，分三种情况求 ①当 0≤t≤8 8-t≥10-8 ，即0≤t≤6时， 当x=8时，取到最小值f（8）；当x=t时，取到最大值f（t）， ∴f（x）的值域为：[f（8），f（t）]， ∴区间长度为t 2 -16t+P+3-（p-61）=t 2 -16t+64=12-t． ∴t 2 -15t+52=0， ∴t= 15- 17 2 ，t= 15+ 17 2 （舍） ②当 0≤t≤8 8-t＜10-8 即6≤t＜8时，D=[f（8），f（10）]=[p-61，p-57] ∴区间长度为p-57-（p-61）=4=12-t， ∴t=8．经检验t=8不合题意，舍去． ③当t≥8时，函数f（x）在[q，10]上单调递增， ∴f（x）的值域为：[f（t），f（10）]，即[t 2 -16t+p+3，p-57]． ∴区间长度为p-57-（t 2 -16t+p+3）=-t 2 -16t-60=12-t， ∴t 2 -17t+72=0， ∴t=8或t=9．经检验t=8或t=9满足题意． 综上知，存在常数t=8或t=9，或t= 15- 17 2 时，f（x）的值域为区间D，且D的长度为12-t