Question

如图，已知：AD是⊙O的直径，AB、AC是弦，且AB=AC．（1）求证：直径AD平分∠BAC；（2）若BC经过半径OA的

如图，已知：AD是⊙O的直径，AB、AC是弦，且AB=AC．（1）求证：直径AD平分∠BAC；（2）若BC经过半径OA的中点E，F是 CD 的中点，G是 FB 的 中点，⊙O的半径为1，求GF的长．





Answer 1

（1）证明：连接OB，OC， ∵在△ABO和△ACO中， AB=AC OA=OA OB=OC ∴△ABO≌△ACO， ∴∠BAO=∠CAO， ∴直径AD平分∠BAC； （2）连接OG、OF，OC， ∵BC过AO中点， ∴AE=OE= 1 2 OA= 1 2 OC， ∵AO⊥BC， ∴∠OEC=90°， ∴∠OCE=30°， ∴∠AOC=60°， 即弧AC度数是60°， ∵AD为直径， ∴弧CD的度数是180°-60°=120°， ∵F为弧CD中点， ∴弧CF的度数和弧DF的度数都等于60°， ∵AO⊥BC，AO平分BC， ∴弧BD的度数=弧CD的度数，是120°， ∴弧BDF的度数是120°+60°=180°， ∵G为弧BDF的中点， ∴弧GF度数是90°， ∴∠GOF=90°， ∵OG=OF=1， ∴由勾股定理得：GF= 1 2 + 1 2 = 2 ．