如图，设F（-c，0）是椭圆x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的左焦点，直线l：x=-a2c与x轴交于P点，MN为椭圆的长轴，
如图，设F（-c，0）是椭圆x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的左焦点，直线l：x=-a2c与x轴交于P点，MN为椭圆的长轴，已知|MN|=8，且|PM|=2|MF|．...
如图，设F（-c，0）是椭圆x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的左焦点，直线l：x=-a2c与x轴交于P点，MN为椭圆的长轴，已知|MN|=8，且|PM|=2|MF|．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点P的直线m与椭圆相交于不同的两点A，B．①证明：∠AFM=∠BFN；②求△ABF面积的最大值．
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解答：（1）解：∵F（-c，0）是椭圆
+
＝1(a＞b＞0)的左焦点，
直线l：x=-
与x轴交于P点，
MN为椭圆的长轴，|MN|=8，∴a=4，…（1分）
又∵|PM|=2|MF|，∴e=
，…（2分）
∴c=2，b2=a2-c2=12，
∴椭圆的标准方程为
+
＝1…（3分）
（2）①证明：当AB的斜率为0时，∠AFM=∠BFN=0，满足题意；…（4分）
当AB的斜率不为0时，设AB的方程为x=my-8，
代入椭圆方程整理得（3m2+4）y2-48my+144=0．…（5分）
△=576（m2-4），yA+yB=
，yAyB=
．
则kAF+kBF＝
+
＝
+
=
＝
，
而2myAyB-6（yA+yB）
=2m?
-6?
=0，…（7分）
∴kAF+kBF=0，从而∠AFM=∠BFN．
综合可知：对于任意的割线PAB，恒有∠AFM=∠BFN．…（8分）
②解法一：S△ABF=S△PBF-S△PAF
=
|PF|?|yB?yA|＝
，…（10分）
即S△ABF=
＝
≤
＝3
，…（12分）
当且仅当3
＝
，
即m=±
时（此时适合于△＞0的条件）取到等号．
∴△ABF面积的最大值是3
．…（13分）
②解法二：|AB|＝
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
直线l：x=-
| a2 |
| c |
MN为椭圆的长轴，|MN|=8，∴a=4，…（1分）
又∵|PM|=2|MF|，∴e=
| 1 |
| 2 |
∴c=2，b2=a2-c2=12，
∴椭圆的标准方程为
| x2 |
| 16 |
| y2 |
| 12 |
（2）①证明：当AB的斜率为0时，∠AFM=∠BFN=0，满足题意；…（4分）
当AB的斜率不为0时，设AB的方程为x=my-8，
代入椭圆方程整理得（3m2+4）y2-48my+144=0．…（5分）
△=576（m2-4），yA+yB=
| 48m |
| 3m2+4 |
| 144 |
| 3m2+4 |
则kAF+kBF＝
| yA |
| xA+2 |
| yB |
| xB+2 |
| yA |
| myA?6 |
| yB |
| myB?6 |
=
| yA(myB?6)+yB(myA?6) |
| (myA?6)(myB?6) |
| 2myAyB?6(yA+yB) |
| (myA?6)(myB?6) |
而2myAyB-6（yA+yB）
=2m?
| 144 |
| 3m2+4 |
| 48m |
| 3m2+4 |
∴kAF+kBF=0，从而∠AFM=∠BFN．
综合可知：对于任意的割线PAB，恒有∠AFM=∠BFN．…（8分）
②解法一：S△ABF=S△PBF-S△PAF
=
| 1 |
| 2 |
72
| ||
| 3m2+4 |
即S△ABF=
72
| ||
| 3(m2?4)+16 |
| 72 | ||||||
3
|
≤
| 72 | ||
2
|
| 3 |
当且仅当3
| m2?4 |
| 16 | ||
|
即m=±
2
| ||
| 3 |
∴△ABF面积的最大值是3
| 3 |
②解法二：|AB|＝
1+
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